[tex]A=2^{1504}+2^{1505}+\ldots+2^{2002}|\cdot 2\\
2A=2^{1505}+2^{1506}+\ldots +2^{2003}\\
--------------\text{Le scadem}\\
2A-A=2^{2003}-2^{1504}\\
Deci\ A=2^{2003}-2^{1504}\\
\text{Mai departe trebuie sa aflam ultima cifra a lui A.}\\
\text{Calculam ciclul puterilor lui 2.}\\
u(2^{1})=2\\
u(2^2)=4\\
u(2^3)=8\\
u(2^4)=6\\
\text{Apoi se repeta.Deci ciclul are lungimea 4.}\\
2003:4=500,r=3\Rightarrow u(2^{2003})=8\\
1504:4= 375,r=0\Rightarrow u(2^{1504})=6\\
[/tex]
[tex]u(A)=u(2^{2003}-2^{1054})=u(2^{2003})-u(2^{1504})=8-6=2\\
\text{Stim ca un patrat perfect are ultima cifra 0,1,4,5,6,9.Deci A nu poate}\\
\text{fi patrat perfect.}\\
\text{Observatie:Prin u(a) am notat ultima cifra a lui a.}[/tex]
