Salut,
Studiul derivabilității începe obligatoriu cu cel al continuității în punctul x₀ = 0.
Este evident că 0 aparține mulțimii Q, a numerelor raționale, deci f(0) = 0 (pentru x rațional, f(x) = x)..
Verificăm condiția:
[tex]\lim\limits_{\Big{x\to x_0 \atop x\in\mathbb{Q}}}f(x)=\lim\limits_{\Big{x\to x_0 \atop x\in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q}}}f(x)=f(x_0)\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow\lim\limits_{\Big{x\to x_0 \atop x\in\mathbb{Q}}}x=\lim\limits_{\Big{x\to x_0 \atop x\in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q}}}x^3\Leftrightarrow x_0=x_0^3,\ sau\ x_0(x_0^2-1)=0,\ deci\ x_0=0.[/tex]
x₀ mai ia valorile --1 și 1, dar nu sunt relevante pentru acest enunț, studiul se referă doar la punctul x₀ = 0.
Funcția este deci continuă în punctul x₀ = 0, adică putem studia derivabilitatea în punctul x₀ = 0.
Funcția este derivabilă în acest punct dacă:
[tex]\lim\limits_{\Big{x\to 0 \atop x\in\mathbb{Q}}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{\Big{x\to x_0 \atop x\in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q}}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\in\mathbb{R}\ (finit\breve{a})\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow\lim\limits_{\Big{x\to 0 \atop x\in\mathbb{Q}}}\dfrac{x-0}{x}=\lim\limits_{\Big{x\to 0 \atop x\in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q}}}\dfrac{x^3-0}{x}\Leftrightarrow 1=0^2,\ sau\ 1=0,\ fals.[/tex]
Deci funcția nu este derivabilă în punctul x₀ = 0.
Green eyes.
