Avem o relatie de recurenta de ordinul 2, deci vom rezolva ecuatia caracteristica. Pt inceput, rescriem relatia de recurenta astfel:
[tex] a_{k+2} -5a_{k+1}+4a_{k}[/tex]
Apoi rezolvam ecuatia caracteristica:
[tex]q^2-5q+4=0
[/tex]
Δ=25-16=9
[tex]q_{1}= \frac{5+ \sqrt{9} }{2}
[/tex]
[tex]q_{2}= \frac{5- \sqrt{9} }{2} [/tex]
Deci q1=4, q2=1.
Termenul general va fi de forma:
[tex]a_{n}=c_{1}q_{1}^n+c_{2}q_{2}^n[/tex]
Deci
[tex]a_{n}=c_{1}4^n+c_{2}[/tex]
Determinam c1 si c2 din primii 2 termeni ai sirului:
[tex] \left \{ {{4c_{1}+c_{2}=5} \atop {16c_{1}+c2=17}} \right. [/tex]
Daca scadem prima ecuatia din a doua, obtinem:
[tex]12c_{1}=12[/tex]
Deci c1=1. 4+c2=5, deci c2=1.
In final
[tex]a_{n}=4^n+1[/tex]
