Explicație pas cu pas pct a:
Pentru a determina ecuatia unei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte de pe aceasta avem mai multe posibilitati.
Metoda 1 (cu determinant):
[tex]AB: \left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\end{array}\right|=0 \\AB: \left|\begin{array}{ccc}3&5&1\\-1&1&1\\x&y&1\end{array}\right| =0\\AB: 3-y+5x-x-3y+5=0\\AB: 4x-4y+8=0|:4\\AB: x-y+2=0\\AB: y=x+2[/tex]
Metoda 2 (cu formula de determinare a ecuatiei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte):
[tex]AB: \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\AB: \frac{x-3}{-1-3}=\frac{y-5}{1-5}\\AB: x-3=y-5\\AB: y=x+2[/tex]
Metoda 3 (gasind vectorul director al dreptei AB si punand conditia ca A sau B sa apartina dreptei):
Vectorul director este:
[tex]\vec{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}=-4\vec{i}-4\vec{j}[/tex]
Coordonatele vectorului director sunt:
[tex]\vec{AB}=(-4,-4)[/tex]
Ecuatia dreptei va fi:
[tex]AB: \frac{x-x_A}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_A}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x-3}{-4}=\frac{y-5}{-4}\\AB: y=x+2[/tex]
Sau:
[tex]AB: \frac{x-x_B}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_B}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x+1}{-4}=\frac{y-1}{-4}\\AB: y=x+2[/tex]
Explicație pas cu pas pct b):
Si la acest subpunct avem doua metode de rezolvare:
Metoda 1:
Notam dreapta data (AB) cu [tex] d_1 [/tex] si dreapta ceruta cu [tex] d_2 [/tex].
Determinam panta dreptei [tex] d_1 [/tex], pe care o notam [tex] m_{d_{1}} [/tex].
[tex] d_1: y=x+2 [/tex]
Panta dreptei [tex] d_1 [/tex] este [tex] m_{d_{1}}=1 [/tex] deoarece coeficientul lui x din ecuatia explicita a acestei drepte este 1.
Stim ca [tex] d_1||d_2 [/tex]. Asadar, [tex] m_{d_{1}}=m_{d_{2}}=1 [/tex].
Scriem ecuatia dreptei [tex] d_2 [/tex] folosind formula de determinare a ecuatiei dreptei cand cunoastem panta si un punct de pe aceasta.
[tex] d_2: y-y_M=m_{d_{2}}(x-x_M)\\d_2: y-1=x-2\\d_2: y=x-1[/tex].
Metoda 2:
Notam dreapta data (AB) cu [tex] d_1 [/tex] si dreapta ceruta cu [tex] d_2 [/tex].
[tex] d_1: y=x+2 [/tex]
Dreptele fiind paralele, au aceeasi panta. Asadar, daca scriem ecuatia dreptei [tex] d_2 [/tex] in forma ei explicita, atunci m (coeficientul lui x) este acelasi si avem:
[tex] d_2: y=mx+n\\d_2: y=x+n [/tex].
Cum punctul M(2,1) se afla pe dreapta, avem ca:
[tex] y_M=x_M+n\\1=2+n//n=-1 [/tex].
Stiind si n, acum putem finaliza exercitiul:
[tex] d_2: y=x-1[/tex].
