In general unghiul format de o dreapta cu un plan este unghiul format de aceasta si proiectia ei pe acel plan
-prisma este regulata, deci ABCD este patrarde latura AB=l
notam inaltimea VO=h, unde O este mijlocul patratului de baza, deci intersectia diagonalelor sale
notam cu M mijlocul laturii AB, deci VM =a= apotema
Cu aceste notiuni fixate, observam ca muchia laterala VA are proiectia pe planul de baza chiar diagonala AC=d
deci unghiul dintre mughia VA si plan va fi VAC
tg(VAC)=AO/VO (in triunghiul dreptunghic VAO)=h /(d/2)
dar intr-un patrat d=l*rad2
aflam pe l din triunghiul dreptunghic VOM, unde OM=l/2
cu Pitagora: VM^2=VO^2+OM^2 OM^2=100-75=25 atunci OM=5 iar l=10
revenim la tangenta unghiului
tg(VAC)=h/(d/2)=h/(l*rad2/2)=5rad3/(10rad2/2)=rad6/2
b)
sectiunea diagonala intr-o piramida patrulatera este triunghiul VMN unde N este mijlocul laturii CD
sa vedem care este proiectia dreptei VB pe sectiunea diagonala
Stim ca in patratul ABCD diagonalele sunt perpendiculare, deci OB perpenticulara pe AC
totodata VO perpendiculara pe planul bazei, deci pe orice dreapta de pe baza, deci si pe BO
In concluzie BO perpendiculara pe VO si pe AC, deci pe doua drepte concurente din planul VAC, deci pe plan. Cu alte cuvinte am gasit ca proiectia lui BV pe plan este chiar inaltimea VO
Atunci unghiul cautat este BVO
tg(BVO)=OB/VO=(d/2)/h=(l*rad2/2)/h=(10*rad2/2) / 5rad3=rad6/3
