fie ABCD un patrat cu latura de 15cm in interiorul patratului se considera punctul E astfel incat AE=10cm si m(DAE)=60°
a)determinati lungimea segmentului [DE]
b)daca perpendiculara in E pe AE taie dreptele AB si CD in M respectiv N determinati lungimea segmentului [MN]

poza
Daca ai ceva intrebari, iti stau la dispozitie.
------------------------------------

a) Aplicăm teorema lui Pitagora generalizată în triunghiul DAE:

DE² = AD²+AE² - 2·AD·AE cosA = 15² +10² - 2·15·10cos60°=

= 225+100 - 2·150·(1/2) = 325 - 150 = 175 ⇒ DE =√175 =√(25·7) =5√7 cm.

b) În triunghiul dreptunghic AME, m(∡E) =90°, avem:

m(∡EAM) = m(∡DAB) - m(∡DAE) = 90° - 60° = 30° ⇒

⇒ m(∡AME) = 60° (complementul lui 30°).

MN - secantă pentru dreptele paralele AB și CD ⇒   

 ⇒ m(∡MNC)  = m(∡AME) (alterne - interne) ⇒ m(∡MNC) = 60°.

Ducem MQ ⊥ CD, cu punctul Q pe CD ⇒ ΔQNM - dreptunghic în Q, 

MQ = BC = 15cm.

În ΔQNM ⇒ sinN = MQ/MN ⇒ sin60° = 15/MN ⇒ √3/2= 15/MN ⇒

⇒ MN = (2 · 15)/√3 = 30/√3 = 30√3/3 = 10√3 cm.