Arata ca suma 2+2^2+2^3+...+2^2016 este divizibila cu 30.

Rezolvarea în tex.

[tex]2 + {2}^{2} + {2}^{3} + ... + {2}^{2016} = \\ \\ (2 + {2}^{2} + {2}^{3} + {2}^{4} ) + ... + ( {2}^{2013} + {2}^{2014} + {2}^{2015} + {2}^{2016} ) = \\ \\30 \times {2}^{0} + ... + 30 \times {2}^{2012} = \\ \\ 30 \times ( {2}^{0} + ... + {2}^{2012} ) = > \text{este~divizibil~cu~30}[/tex]

Ultima putere din grupuri este divizibilă cu 4 , mai exact exponentul. Am grupat câte 4 termeni , astfel încât ca suma celor 4 să fie divizibilă cu 30.

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰¹⁶ divizibil cu 30

Avem 2016 termeni deci putem sa ii grupam cate 4

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ... + (2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶)

= (2 + 4 + 8 + 16) + ... + 2²⁰¹²(2 + 4 + 8 + 16)

= 30 + ... + 2²⁰¹²·30

= 30·(1 + ... + 2²⁰¹²) divizibil cu 30

q.e.d.