[tex]\displaystyle\\
\text{Avem ecuatia:}\\\\
\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)+2\cdot \text{arctg}\left(x\right)-5=0\\\\
\text{Vom studia separat fiecare componenta a ecuatiei.}\\\\
\text{Functia }~\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right) ~~\text{este strict crescatoare pe intervalul }~(-1;~1)\\\\
\Longrightarrow~\text{Graficul functiei intersecteaza o singura data axa Ox}\\\\
\Longrightarrow~\text{Ecuatia }~\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)=0~\text{are o singura solutie}.
[/tex]
[tex]\displaystyle\\
\text{Calculam solutia:}\\\\
\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)=0\\\\
\frac{x+1}{1-x}=1\\\\
x+1=1-x\\
x+x = 1-1\\
2x=0\\
x=0\\
\Longrightarrow~\text{Graficul functiei }~f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right) \\ \text{taie axa Ox in punctul }~O(0,~0).\\\\
\text{Functia ~arctg }(x) ~~\text{este strict crescatoare pe R.}\\
\Longrightarrow~~\text{Graficul functiei ~arctg }(x)~\text{ intersecteaza o singura data axa Ox.}} \\\\
\text{arctg }(x)=0\\x = 0+2k\pi
[/tex]
[tex]\displaystyle\\
\text{doar ramura care trece prin O(0, 0) intersecteaza axa Ox}\\
\Longrightarrov~~\text{solutia } ~x=0~\text{ este unica.}\\
\Longrightarrov~~\text{Graficul functiei arctg(x) intersecteaza axa x in O(0, 0).}\\\\
\text{Rezulta ca suma primelor 2 functii din ecuatie este o functie }\\
\text{strict crescatoare care intersecteaza axa Ox in punctul O(0, 0) }\\
\text{deoarece: }~0 + 2\cdot 0 = 0\\\\
[/tex]
Pana acum am dovedit ca ecuatia are o singura solutie, dar nu am dovedit daca solutia este pozitiva sau negativa.
Daca ar fi doar suma celor 2 functii, unde (ln + 2arctg = 0) atunci solutia ar fi (x = 0), dar din suma functiilor se scade 5.
⇒ (ln + arctg - 5 = 0)
Acest "- 5" este un termen liber care stabileste punctul unde graficul functiei
se intersecteaza cu axa Oy.
[tex]\displaystyle\\
\Longrightarrow~~f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)+2\cdot\tan^{-1}\left(x\right)-5 \\\\
\text{este strict crescatoare, intersecteaza axa Oy in punctul (0, -5) }\\
\text{iar punctul de intersectie al axei Ox s-a deplasat spre dreapta lui 0,}\\
\text{datorita termenului liber, dar nu mai mare decat 1 deoarece: }
[/tex]
[tex]\displaystyle\\
\text{functia:}~~\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)~~\text{este de\!finita pe intervalul: } ~(-1,~1)\\\\
\Longrightarrow~~\text{Ecuatia: }\\\\
\ln\left(\frac{x+1}{1-x}\right)+2\cdot\text{arctg}\left(x\right)-5=0\\\\
\boxed{\text{Are o singura solutie pozitiva}}
[/tex]
