in triunghiul dreptunghic ABC ducem inaltimea AD,D €(BC)Si mediana AE, E € (BC). Dacă BC=4BD, arătați că:
[AE bis unghiului DAC
MULTUMESC

Fie BD=x
BC=4BD=4x
DC=BC-BD=4x-x=3x
AD= (teorema inaltimii in tr.ddr ABC)=√(x*3x)=x√3
AB =(oPitagora in tr drADB)=√(x²+(x√3)²)=2x
AC= pitagora in tr drABC=√((2x)²+(4x)²)=2x√3
EC=BC/2=4x/2=2x
DE/EC=x/2x=1/2 (1)
AD/AC=x√3/2x√3=1/2 (2)
din (1) si (2)⇒DE/EC=AD/AC⇒(Rec.Teo bisectoarei)⇒
AE bisectoarea unghiului DAC

Extra
cum AB=BD=AD, ⇒ΔABDechilateral, m∡ABc=60° si m∡ACB=30°, deci este tr.dr cu un unghi de 30°

Notăm BD = x ⇒ BC = 4x

AE -mediană corespunzătoare ipotenuzei ⇒ AE = BE = EC = 2x

DE = BE - BD = 2x-x=x ⇒ AD - mediană și înălțime înΔABD ⇒

⇒ ΔABD -isoscel,  AB = AE = 2x.  

Dar, BE = 2x, deci AB=BE=AE =2x⇒ ΔABE - echilateral ⇒ m(∡B)=60°⇒

⇒ m(∡C) = 30° (complementul lui 60°).

Acum ne concentrăm asupra vârfului A.

ΔAEC -isoscel, AE = EC = 2x ⇒ m(∡CEA) = m(∡C) = 30°   

În triunghiul dreptunghic ADE se observă că ipotenuza AE este dublul

catetei DE, iar din reciproca T.∡30 ⇒ m(∡EAD) = 30°

Prin urmare, m(∡EAD) = 30° și m(∡CAE) = 30° ⇒

m(∡EAD) = m(∡CAE) ⇒ [AE - bisectoarea unghiului DAC.