3)
a)
√(15n+7)
Notam E=15n+7.
Ne propunem sa determinam ultima cifra a expresiei aflate sub radical, adica a numarului E.
Pentru asta, vom inlocui numeric n cu cateva cifre pana observam o repetitie.
Daca n=0 => E=15*0+7=7
Daca n=1 => E=15*1+7=15+7=22
Daca n=2 => E=15*2+7=30+7=37
Daca n=3 => E=15*3+7=45+7=52
Deci observam ca ultima cifra a numarului E este alternativa intre 7 si 2.
Din teorie, stim ca un numar poate fi patrat perfect daca se termina in 0,1,4,5,6 si 9.
Aceasta serie de numere nu include numerele 2 si 7, deci E nu are cum sa fie patrat perfect.
Daca E nu este patrat perfect, atunci nu exista n∈N astfel incat √(15n+7) sa fie un numar natural.
b)
Mergem pe acelasi principiu de rezolvare.
√(5n+6)
Notam M=5n+6.
Ne propunem sa determinam ultima cifra a expresiei aflate sub radical, adica a numarului M.
Pentru asta, vom inlocui numeric n cu cateva cifre pana observam o repetitie.
Daca n=0 => M=5*0+6=6
Daca n=1 => M=5*1+6=5+6=11
Daca n=2 => M=5*2+6=10+6=16
Daca n=3 => M=5*3+6=15+6=21
Deci observam ca ultima cifra a numarului M este alternativa intre 1 si 6.
Din teorie, stim ca un numar poate fi patrat perfect daca se termina in 0,1,4,5,6 si 9.
Aceasta serie de numere include numerele 1 si 6, deci M poate fi patrat perfect.
Daca M poate fi patrat perfect, atunci exista n∈N astfel incat √(5n+6) sa fie un numar natural.
Si putem avea cateva exemple:
Daca n=6 => M=√(5*6+6)=√36=6
Daca n=23 => M=√(5*23+6)=√(115+6)=√121=11
4)
Avem 2 metode de rezolvare posibile: fie vedem care este cantiatea din care se extrage radicalul (fiind numere relativ mici putem face operatiile de acolo) si vedem daca radicalul este sau nu un numar din Q, fie demonstram prin metoda presupunerii ca acel radical nu este un numar rational.
Metoda 1:
√(1*2*3*.....*10+5)=√(3628800+5)=√3628805=1904,9422... si nu este numar rational.
Metoda 2:
Presupunem ca expresia E=1*2*3*....*10+5 este un patrat perfect.
Daca E=1*2*3*....*10+5 este patrat perfect, atunci E s-ar putea scrie sub forma E=n*n.
Produsul 1*2*3*....*10 se termina in doua zerouri (unul provine de la inmultirea 2*5 si al doilea de la inmultirea tuturor numarelor anterioare cu 10). Acest lucru garanteaza faptul ca produsul 1*2*3*...*10 este divizibil cu 5 si, totodata, este dizibil si cu 25. Deci E ar fi de forma:
E=25*k₁+5
Observam ca ultima cifra a numarului E este 5, deci numarul E este divizibil cu 5 si se poate scrie sub forma E=5*k. Daca E este divizibil cu 5, atunci implicit si n este divizil cu 5, deci E ar fi de forma:
E=n*n=(5*k₂)²=25k₂²
De aici tragem concluzia ca E este divizibil cu 25.
Dar cum expresia E este aceeasi obtinem ca:
25k₁+5=25k₂²
Facem calculele care se impun si avem:
25k₁-25k₂²=5
25(k₁-k₂²)=5
Daca notam k₁-k₂=m, obtinem: 25m=5.
De aici putem concluziona ca 5 este multiplu de 5.
Dar 5 nu poate fi multiplu de 25, ci doar 25 poate fi multiplu de 5 (5 fiind mai mic decat 25). Astfel obtinem o contradictie ce garanteaza ca presupunerea initiala este falsa.
Astfel, expresia E=1*2*3*....*10+5 nu poate fi patrat perfect.
Daca E=1*2*3*....*10+5 nu este patrat perfect, inseamna ca:
√E=√(1*2*3*....*10+5) nu este numar rational.
PS: Am incercat sa iti scriu cat am putut de detaliat ca sa intelegi despre ce e vorba. Pentru orice neclaritati, astept mesajul tau.
