se considera sirul: 1, 4 ,13 ,40 ..... al saptelea termen al sirului va fi?

Mai intai trebuie sa observam progresia sirului.

0·3+1 = 1       ↓
1·3+1 = 4       ↓
4·3+1 = 13     ↓
13·3+1 = 40   → Sunt 4 numere.
_________________

40 · 3 + 1 = 121 [nr 5]

121·3 + 1 = 364 [nr 6]

364 · 3 + 1 = 1093 [nr 7]

1, 4 ,13 ,40....

[tex]a_1 = 1 \\ a_2 = a_1+3 \\ a_3 = a_2+9 \\ a_4 = a_3 + 27 \\ .... \\ a_n = a_{n-1} + 3^{n-1} \\ -----------(+) \\ \\ a_1+a_2+...+a_n = a_1+a_2+...+a_{n-1} + 1 + 3+ 9+...+3^{n-1} \\ \\ a_1+a_2+...+a_n-(a_1+a_2+...+a_{n-1}) = 3^0 + 3^1+3^2 +...+3^{n-1} \\ \\ a_n = 3^0 + 3^1+3^2+...+3^{n-1}\Big|\cdot 3 \\ 3a_n = 3(3^0+3^1+3^2+...+3^{n-1})\\ 3a_n = 3^1+3^2+3^3+...+3^n \\ 3a_n = 3^0+3^1+3^2+3^3+...+3^{n-1}+3^n - 3^0 \\ 3a_n = a_n+3^n-3^0 \\ 3a_n-a_n = 3^n-1 \\ 2a_n = 3^n -1 \\ \Rightarrow a_n = \dfrac{3^n-1}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow a_{7} = \dfrac{3^7 - 1}{2} = \dfrac{2186}{2} = 1093[/tex]

=> Elementul de pe locul al 7-lea este 1093.