Pe laturile (BC) și (CD) ale pătratului ABCD se consideră punctele E și F astfel încât m(<EAF)=45°.Știind că AB=5 cm și că ∆CEF are aria egală cu 3 cm² aflați aria ∆AEF.

Indicație:

Prelungim segmentul [CB],dincolo de B,cu [BG] congruent cu [DF].

Arătăm că ∆AEF și ∆AEG sunt congruente:

Prelungim latura BC dincolo de B cu BG congruent cu DF, conform indicatiei.

In ΔADF si ΔABG avem:

BG ≡ DF (asa l-am construit)

AB ≡ AD (fiind laturi ale patratului)

m(∡ABG) ≡ m(∡ADF) = 90°

⇒ Suntem in cazul de LUL de congruenta.

⇒ ΔADF ≡ ΔABG

⇒ AG ≡ AF si m(∡BAG) ≡ m(∡FAD)

m(∡BAD) = 90° fiind un unghi al patratului.

m(∡EAF) = 45°

⇒ Suma unghiurilor m(∡FAD) + m(∡EAB) = m(∡BAD) - m(∡EAF) = 90 - 45 = 45°

⇒ m(∡EAG) = m(∡BAG) + m(∡EAB) = m(∡FAD) + m(∡EAB) = 45°

In ΔEAG si ΔEAF avem:

AE = latura comuna

AG ≡ AF (am demonstrat mai sus)

m(∡EAG) = m(∡EAF) = 45°

⇒ Suntem in cazul de LUL de congruenta.

⇒ ΔEAG ≡ ΔEAF

⇒ Aria ΔEAG = Aria ΔEAF

Suma ariilor triunghilor: Aria ΔFAD) + Aria ΔEAB = Aria ΔEAF

Aria patratului ABCD = AB² = 5² = 25 cm²

Aria ΔCEF = 3 cm²

Aria ΔEAF = (25 - 3)/2 = 22/2 = 11 cm²

O soluție este prezentată în poză.