Arătați că (2n+5,3n+7)=1:|

[tex] Adica,~tie~iti~cere~sa~arati~ca~alea~2~numere~sunt~prime~intre~ele.\\ \\ O~gandim~invers,~presupunem~ca~cele~2~numere~nu~sunt~prime~intre~ele. \\ \\ Asta~inseamna~ca~cele~doua~numere~au~un~div.~comun~"d"~astfel~incat: \\ \\ \left \{ {{d~|~(2n+5)~|*3} \atop {d~|~(3n+7)~|*2}} \right. ~\Leftrightarrow~\left \{ {{d~|~(6n+15)} \atop {d~|~(6n+14)}} \right. ~\Leftrightarrow~d~|~[(6n+15)-(6n+14)]~\Leftrightarrow~d~|~1.\\ \\ Deci,~presupunerea~noastra~este~falsa,~caci~d~divide~1,~adica~cele~2~numere~sunt~prime~ele. [/tex]

Fie d ∈ ℕ*, astfel încât d | 2n+5 și d | 3n+7

d | 2n+5 ⇒ d | (2n+5)·3 ⇒ d | 6n+15 (1)

d | 3n+7 ⇒ d | (3n+7)·2 ⇒ d | 6n+14 (2)

(1), (2) ⇒ d | 6n + 15 - (6n + 14)⇒ d | 6n+15 - 6n - 14 ⇒ d | 1 ⇒ d = 1 ⇒

⇒ (2n+5, 3n+7) = 1