Răspuns :
În triunghiul AIB aplicăm teorema sinusurilor:
[tex] \it \dfrac{AI}{sin\dfrac{B}{2}} = \dfrac{AB}{sin(AIB)} \Rightarrow AI = \dfrac{AB sin\dfrac{B}{2}}{sin(AIB)} \qquad (1) [/tex]
În triunghiul AIB avem:
[tex] \it\widehat{AIB} = 180^o-\dfrac{\hat{A}+\hat{B}}{2} = 180^o-\dfrac{180^o- \hat{C}}{2} = 180^o-90^o+\dfrac{\hat{C}}{2} =
\\ \\ \\
= 90^o+\dfrac{\hat{C}}{2} \Rightarrow sin(\widehat{AIB}) = sin(90^o+\dfrac{\hat{C}}{2}) = cos\dfrac{C}{2} \ \ \ \ \ \ (1) [/tex]
Cu teorema sinusurilor în triunghiul ABC, avem :
[tex] \it \dfrac{AB}{sinC} = 2R \Rightarrow AB = 2R sinC= 2R\cdot2sin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2} = 4Rsin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}\ \ \ \ \ \ (3)
\\ \\ \\
(1),\ (2),\ (3) \Rightarrow AI = \dfrac{4Rsin\dfrac{C}{2}cos\dfrac{C}{2}sin\dfrac{B}{2}}{cos\dfrac{C}{2}} \Rightarrow AI = 4Rsin\dfrac{B}{2} sin\dfrac{C}{2} [/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Ne bucurăm dacă informațiile v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de asistență, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne-ar onora, așa că nu uitați să ne adăugați la favorite!