Facem echilibru de momente, luand ca centru de rotatie punctul in care tija se sprijina de perete. Fortele relevante sunt greutatea omului, [tex] G_M [/tex], greutatea tijei. [tex] G_m [/tex], forta de frecare, [tex] F_f [/tex], si reactiunea in punctul de jos, [tex] N [/tex]. Obtinem astfel urmatorul sistem (destul de laborios!) de relatii:
[tex] \begin{cases}M_N(O)=M_{F_f}(O)+M_{G_m}(O)+M_{G_M}(O) \\\\
M_{G_m}=mgb_{G_m}, \: b_{G_m}=\dfrac{l\sin\alpha}{2}\implies M_{G_m}=\dfrac{mgl\sin\alpha}{2} \\\\
M_{G_M}=4mgb_{G_M},\: b_{G_M}=(l-h/\cos\alpha)\sin\alpha\implies M_{G_M}=4mg(l\sin\alpha-h\text{tg }\alpha) \\\\
M_{F_f}=5\mu mgb_{F_f},\: b_{F_f}=l\cos\alpha\implies M_{F_f}=5\mu mgl\cos\alpha \\\\
M_N=5mgb_N,\:b_N=l\sin\alpha\implies M_N=5mgl\sin\alpha
\end{cases} [/tex]
De aici, tot ce trebuie sa facem este sa inlocuim corect si sa rezolvam cu rabdare ecuatia finala, al carei rezultat este, in fapt, destul de simplu:
[tex] 5mgl\sin\alpha=5\mu mgl\cos\alpha+\dfrac{mgl\sin\alpha}{2}+4mg(l\sin\alpha-h\text{tg }\alpha) [/tex]
Observam ca inaltimea pana la care urca omul, [tex] h [/tex], nici nu depinde de masa sau de acceleratia gravitationala, fiindca putem simplifica [tex] mg [/tex] peste tot:
[tex] 5l\sin\alpha=5\mu l\cos\alpha+\dfrac{l\sin\alpha}{2}+4(l\sin\alpha-h\text{tg }\alpha) [/tex]
Sarind peste cateva etape in calcul pe care sunt convins ca le poti face fara ajutor, obtinem relatia finala:
[tex] h=\dfrac{l(5\mu\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2})}{4\text{tg }\alpha}\approx 1,816m [/tex]
