Cum ABC e triunghi isoscel cu AB=AC
=>m(B)=m(C)
Duci paralela AX prin A la BC
Fie CA secanta
=> m(ACB)=m(BCX) (alterne interne congruente)
Prelungim AB a.i. AB inclus in AY, iar A € BY
m(BAY)=180° (unghi alungit) (1)
In tr. ABC, m(A)+m(B)+m(C)=180° (2)
Din (1) si (2) => m(BAY)=m(A)+m(B)+m(C)
=> m(BAY)=2y°+x°+x°=2y°+2x°
m(BAC)+m(CAX)+m(XAY)=2x°+2y°
2y°+x°+m(XAY)=2x°+2y° |-(2y°+x°)
m(XAY)=x°=m(CAX)
=> (AX bisect. unghiului CAY
Iar unghiul CAY este unghi exterior al lui A si al triunghiului ABC
Si concluzia:
"paralela prin A la BC este bisectoare exterioara triunghiului ABC"
