Fie a și b doua numere reale pozitive ,a < ,aratati ca
a la a doua < ab < b la a doua

[tex] \it a, \ b\in\mathbb{R}_{+}\\ \\a<b|_{\cdot a} \Rightarrow a^2<ab\ \ \ \ \ (1)\\ \\ a<b|_{\cdot b} \Rightarrow ab < b^2\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1), (2) \Rightarrow a^2<ab<b^2 [/tex]

[tex] a<b,\:(a,b)\in\Bbb{R}^+\times\Bbb{R}^+ [/tex]

Cum [tex] a^2 = a\cdot a [/tex], putem afirma ca [tex] a^2<ab [/tex] daca si numai daca [tex] ab-a^2=ab-a\cdot a [/tex] este mai mare decat [tex] 0 [/tex]. [tex] ab-a\cdot a=a\cdot(b-a) [/tex], iar [tex] a>0, b>a\implies b-a>0\implies ab-a^2>0\implies a^2<ab [/tex].

Cum [tex] b^2=b\cdot b [/tex], putem afirma ca [tex] ab<b^2 [/tex] daca si numai daca [tex] b^2-ab=b\cdot b-ab [/tex] este mai mare decat [tex] 0 [/tex]. [tex] b^2-ab=b\cdot (b-a) [/tex], iar [tex] b>0, b>a\implies b-a>0\implies b^2-ab>0\implies ab<b^2 [/tex].

In concluzie, [tex] a^2<ab<b^2 [/tex].