A5.
[tex](m-1)x^2+mx+2m-1=0\ ,\ m\neq1[/tex]
a)
Pentru ecuatia de gradul al II-lea relatiile lui Viete sunt:
[tex]S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\
P=x_1x_2=\frac{c}{a}[/tex]
In cazul nostru:
[tex]S=-\frac{m}{m-1}\\
P=\frac{2m-1}{m-1}[/tex]
b)
Se poate observa ca la suma si produs avem acelasi numitor, deci le-am putea aduna sau scadea:
[tex]S+P=\frac{-m}{m-1}+\frac{2m-1}{m-1}=\frac{m-1}{m-1}=1[/tex]
Se observa ca relatia este independenta de m.
[tex]x_1+x_2+x_1x_2=1[/tex]
c)
x₁ si x₂ sunt numere intregi ==> S = x₁ + x₂ este numar intreg
S = -m / (m - 1) ==> -m / (m - 1) este numar intreg
[tex]\frac{-m}{m-1}\in Z\rightarrow m-1 | -m \ \ \ \ (1)\\\\
m-1 | m-1\ \ \ \ (2)\\\\
\text{Adunam relatiile (1) si (2), conform proprietatilor diviibilitatii:}\\
m-1 | (-m) + (m-1)\rightarrow m-1 | -1\\\\
D_{-1}=\{-1,1\}\rightarrow m\in m-1 \in \{-1,1\} \rightarrow m\in\{0,2\}\\[/tex]
Putem verifica daca pentru cele doua solutii ale lui m, radacinile sunt intregi:
[tex]m=0\rightarrow -x^2-1=0\rightarrow x^2+1=0 \\
\text{Nu exista solutii in R pentru aceasta ecuatie}\\\\
m=2\rightarrow x^2 + 2x+3=0\\
\text{Nu exista solutii in R nici pentru aceasta ecuatie}[/tex]
Nu exista m pentru care ecuatia are solutii intregi.
A6.
[tex](m-2)x^2+(2m+1)x+m=0[/tex]
a)
Cazul I: m ≠ 2:
[tex]\Delta=b^2-4ac=(2m+1)^2-4\cdot(m-2)\cdot m=\\=4m^2+4m+1-4m^2+8m=
12m+1[/tex]
Ecuatia are solutii reale ==> Δ ≥ 0
[tex]12m+1\geq0\rightarrow \boxed{m\geq-\frac{1}{12}}[/tex]
Cazul ||: m = 2:
Ecuatia va deveni:
[tex]5x+2=0 \rightarrow x = -\frac{2}{5} \in R[/tex]
Asadar, valorile lui m pentru care ecuatia are solutii reale sunt:
[tex]m\in(-\frac{1}{12},\infty)[/tex]
b)
[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P\\
S^2-2P=1\\\\
S=-\frac{b}{a}=\frac{-2m-1}{m-2}\\
P=\frac{c}{a}=\frac{m}{m-2}\\[/tex]
[tex]S^2-2P=(\frac{-2m-1}{m-2})^2-2\cdot\frac{m}{m-2}=\frac{4m^2+4m+1}{(m-2)^2}-\frac{2m(m-2)}{(m-2)^2}=\\\\
=\frac{4m^2+4m+1-2m^2+4m}{(m-2)^2}=\boxed{\frac{2m^2+8m+1}{(m-2)^2}=1}\\\\\\
2m^2+8m+1=(m-2)^2\\\\
2m^2+8m+1=m^2-4m+4\\\\
m^2+12m-3=0\\
\Delta=144+12=156=2^2\cdot39\\\\
m_{1,2}=\frac{-12\pm2\sqrt{39}}{2}=\boxed{-6\pm\sqrt{39}}[/tex]
Daca ni s-ar impune ca x₁ si x₂ sa fie reale, atunci trebuie sa intersectam solutiile lui m cu ceea ce am aflat la a, si vom observa ca -6 - √39 nu se afla in interval, asadar, singura solutie ramasa ar fi:
[tex]m=-6+\sqrt{39}[/tex]
