11.
11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 18
12.
2) a) 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
b)
(n + 1) + (n + 3) + (n + 5) + (n + 7) + (n + 9) + (n + 11)+......................+(n + 19) = 100
10n + (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19) = 100
10n = 100 - (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19)
10n = 100 - 100⇒ n = 0
atunci numerele vor fi
(n + 1) = 0 + 1 = 1
(n + 3) = 0 + 3 = 3
(n + 5) = 0 + 5 = 5
(n + 7) = 0 + 7 = 7
(n + 9) = 0 + 9 = 9
(n + 11) = 0 + 11 = 11
(n + 13) = 0 + 13 = 13
(n + 15) = 0 + 15 = 15
(n + 17) = 0 + 17 = 17
(n + 19) = 0 + 19 = 19
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
13.
Sumă celor mai mici numere naturale impare distincte este 100, ceea ce înseamnă ca valoarea cea mai mică posibilă dacă ele sunt distincte este 100.
Dar 98 este mai mic de 100, numerele nu sunt distincte toate, deci 2 sunt egale .
(1, 1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
1 + 1 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 98
deci primele 2 sunt egale
14.
a) (574+26) + (875+25) =600+900=1500
b) (2036 + 64) + (871 + 329) + 50 = 2100 + 1200 + 50 = 3350
c) (2031 + 689) + (3698 + 302) = 2720 + 4000 = 6720
d) (324 + 76) + (109 + 1) + 100 + 16 = 400 + 110 + 116 = 626
15.
a) 1 + 2 +3 +....+ 80 =[n (n+1)]:2=(80 × 81):2 = 3240 suma Gauss
b) 2 + 4 + 6 +......+ 100 = 2×( 1 + 2 + 3 +....+ 50) = 2 × (50 × 51):2 = 2550
se da factor comun iar in paranteza este suma Gauss
c) 1 + 3 + 5 +...........+99 = n × n = 99 × 99 = 9801 suma Gauss de numere impare
d) 3 + 7 + 11 + 15 + ......+ 43 =
3 = 1 × 4 -1
7 = 2 × 4 -1
11 = 3 × 4 -1
.........................
43 = 11 × 4 -1
.........
=4× (1 + 2 + 3 + 4 +....+ 11) - 1 × 11 = 4 × (11 × 12):2 -11 =253
sau se observa ca suma este progresie aritmetica
an=a1+(n-1)×r
S=[(an+a1)×r]:2
an = 43, a1=3 sin r=4
43 = 3 + (n-1)×4
43 = 3 + 4n-4
4n = 44
n = 11
S=[(43 + 3)×11]:2
S = (46 × 11):2
S = 253
16.
a) 3 + 6 + 9 + ....+ 2019 = 3 ( 1 + 2 + 3 +.........+ 673) = 3 ×(673 × 674) :2 = 680403
b) 4 + 8 + 12 + ....+ 2020 = 4 × ( 1 + 2 + 3 +.........+ 505) = 4 ×(505 ×506) :2 = 511060
c) 5 + 10 +15 +.......+2020 = 5 × ( 1 + 2 + 3 +.........+ 404) = 5 × (404 × 405) : 2 = 409050
d) 7 + 14 + 21 +.........+ 2023) = ( 1 + 2 + 3 +.........+ 289) = 7 × (289 × 290) :2 =
293335
