cate numere de trei cifre au un numar impar de divizori?
va rog sa-mi si explicati

Răspuns

7 numere+1 numar+1 numar=9numere

Explicatie pas cu pas

numerele prime au 2 divizori

numerele compuse care nu sunt puteri de numere prime au 2+2k divizori,(pt ca orice divizor propriu vine cu corespondentul sau de ex 2 si4 pt 8 sau 3si4 pt 12) deci numar par, nu ne intereseaza

patratele numerelor prime care au 3 divizori (1,p,p²)si cuprinse intre 100 si 999 sunt ;

11²,13², 17²,19²,23²,29²,31²...7 numere

apoi 5 divizori pot avea puterile a 4-a a numerelor prime (1,p, p², p³,p^4)

3^4=81 nu e bun

5^4=625

6^4=1296 nu e bun

7 divizori au puterile a  6-a  ale numerelor prime

2^6=64 nu e bun

3^6=324

4^6=256*16 nu e bun

9 divizori au puterile a  8-a  ale numerelor prime

2^8=256, dar l-am scris la 4^4 , deci nu il mai scriem

3^8=6561>999 nu e bun

11 divizori au puterile a  10-a  ale numerelor prime ale numerelor prime

2^10=1024>999 nu e bun

nu incercam mai departe, am ajuns la numere cu peste 3 cifre

deci raman 7+1+1=9 numere

Răspuns

22 de numere

Explicație pas cu pas:

fie n=  nr de 3 cifre

n=p1^a1 • p2^a2 • p3^a3 •…..•pk^ak

p1, p2, ......,pk sunt factori primi din descompunere nr n

numarul divizorilor=(a1+1)(a2+1)(a3+1)•….•(ak+1)=2m+1 , nr impar

=> fiecare paranteza este un numar impar

=> a1, a2, a3,….,ak sunt numere pare

a1=2b1; a2=2b2; a3=2b3; .....;ak=2bk

n=p1^(2b1)• p2^(2b2) • p3^(2b3) •…..•pk^(2bk)

deci, fiecare factor prim al numarului n este la o putere para

=> toate patratele perfecte de 3 cifre au numar impar de divizori

n∈{10², 11², 12², 13², ....., 31²},    sunt 31-10+1=22 de numere