Verificați dacă sumele următoare ca rezultat un număr divizibil cu 5

Răspuns

Explicație pas cu pas:

S1 = 35 · 36 : 2 = 35 · 18,                     35 este divizibil cu 5, atunci si S1 este divizibilă cu 5

S2 = 51 · 52 : 2 = 51 · 26, niciun factor nu este divizibil cu 5, deci S2 nu este divizibilă cu 5

S3 = 99 ·100 : 2 = 99 · 50,                50 este divizibil cu 5, atunci si S3 este divizibilă cu 5

Răspuns

Explicație pas cu pas:

S₁ = 1 + 2 + 3 + ..... + 35

S₁ = 35 × ( 1 + 35 ) : 2

S₁ = 35 × 36 : 2

S₁ = 35 × 18

S₁ = 630 → divizibil cu 5, deoarece cifra unitatilor este 0

Observatie: Pentru ca un numar sa fie divizibil cu 5, trebuie ca cifra unitatilor sa fie 0, respectiv 5.

_________________________________________

S₂ = 1 + 3 + 5 + ........ + 51

→ stabilesc cati termeni are suma numerelor impare cu ratia 2

( 51 - 1 ) : 2 + 1 = 50 : 2 + 1 = 26 termeni are suma

→ aplic formula sumei lui Gauss

S₂ = 26 × ( 1 + 51 ) : 2

S₂ = 13 × 52

S₂ = 676 →  nu este divizibil cu 5

_____________________________

S₃ = 15 + 16 + ..... + 99

( 99 - 15 ) + 1 = 85 termeni are suma

S₃= 85 × ( 15 + 99 ) : 2

S₃ = 85 × 114 : 2

S₃ = 85 × 57 →  85 divizibil cu 5

S₃ = 7 395 → divizibil cu 5

____________________

S₄ = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ...... + 3²⁰¹⁵

S₄ = ( 1 + 3 + 3²+ 3³)+ 3⁴( 1 + 3 + 3² + 3³ ) + .... + 3²⁰¹² (1+3+3²+3³)

Grupez cate 4 termeni

S₄ = 40 + 3⁴ x 40 + ...... + 3²⁰¹² x 40

S₄ = 40 x ( 1 + 3⁴ + ...... + 3²⁰¹² ) → divizibil cu 5

_____________________________________

S₅ = 1 + 9 + 9² + 9³ + 9⁴ + ...... + 9²⁰¹³

S₅ = ( 1 + 9 ) + 9² ( 1 + 9 ) + ..... + 9²⁰¹² ( 1 + 9 )

S₅ = 10 + 9² x 10 + ..... + 9²⁰¹² x 10

S₅ = ( 1 + 9² + ..... + 9²⁰¹² ) x 10 → divizibil cu 5