La un concurs de mate s-au dat 20 de probleme. Pt fiecare problemă rezovată se primesc 8 puncte, pt una rezolvata gresit se scad 5 puncte, iar pt una neabordată se dau 0 puncte. Un elev a primit 13 puncte. Câte probleme s-au rezolvat corect?
Vă rog s-o rezolvați prin metoda falsei ipoteze, la nivelul clasei a 4-a!

Maximul punctelor ce pot fi acumulate este 20·8 = 160.

160 - 13 = 147 puncte pierdute.

În mod real, pentru fiecare problemă neabordată se pierd 0 + 8 = 8 puncte,

iar pentru fiecare problemă greșit abordată se pierd 5+8 = 13 puncte.

Dacă notăm cu n și respectiv g numărul celor două tipuri de probleme,

vom avea ecuația 8n +13g = 147 ⇒ 8n = 147 - 13g    (*)


8n este număr par, pentru oricare n natural.

Ecuația (*) există dacă:

I)  13g este impar;

II) g < 11.

Cele două condiții au loc pentru g∈ {11, 9, 7, 5, 3, 1}.

Presupunem g = 11, iar ecuația (*) devine:

8n = 147 -  13·11  ⇒ 8n =147 -  143 ⇒ 8n =  4 ⇒ nu are soluție naturală,

deci presupunerea este falsă.


Presupunem g = 9, iar ecuația (*) devine:

8n = 147 -  13·9  ⇒ 8n =147 -  117 ⇒ 8n =  30 ⇒ nu are soluție naturală,

deci presupunerea este falsă.


Presupunem g = 7, iar ecuația (*) devine:

8n = 147 -  13·7  ⇒ 8n =147 -  91 ⇒ 8n =  56 ⇒ n = 7.

Așadar, g = 7,  n = 7 este o soluție convenabilă  pentru ecuația (*).


20 - 7- 7 = 6 probleme rezolvate corect.


Verificarea este imediată:

6·8 - 7·5  = 48 - 35 = 13 puncte acumulate.