Răspuns :
[tex] \displaystyle\\
f=x^3+mx^2+nx+6\\
g=x^2-x-2\\
f ~\vdots~ g
\text{Calculam radacinile lui g}\\\\
x_{12}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{1+4\cdot2}}{2} =\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}= \frac{1\pm3}{2}\\\\
x_1 = \frac{1-3}{2}=\boxed{-1}\\\\
x_2 = \frac{1+3}{2}=\boxed{2}\\\\
[/tex]
[tex] \displaystyle\\
\text{Daca f divizibil cu g atunci x1 si x2 sunt si radacini ale lui f.}\\
\text{Folosim relatia lui viete:} ~~~x_1x_2x_3 = \frac{-d}{a} \text{ pentru a afla pe x3}\\\\
x_1x_2x_3 = \frac{-d}{a}\\\\
x_1x_2x_3 = -6\\\\
x_3 = \frac{-6}{x_1x_2} = \frac{-6}{(-1)\cdot 2} = \frac{-6}{-2} =\boxed{3}\\\\
\text{Avem radacinile polinomului f(x):}\\
\boxed{x_1=-1;~x_2=2;~x_3=3}\\
\text{Reconstituim polinomul f(x)}\\\\
f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_2)\\\\
f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)\\\\
[/tex]
[tex] \displaystyle\\
f(x)=(x^2+x-2x-2)(x-3) =\\\\
= (x^2-x-2)(x-3) =\\\\
=x^3-x^2-2x-3x^2+3x+6=\\\\
=x^3-4x^2+x+6\\\\
f(x)=x^3-4x^2+x+6\\\\
f(x)=x^3+mx^2+nx+6\\\\
\Longrightarrow~~~\boxed{\bf m=-4}~~\bf si~~ \boxed{\bf n=1} [/tex]
Vă mulțumim că ați vizitat platforma noastră dedicată Matematică. Ne bucurăm dacă informațiile v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de asistență, nu ezitați să ne contactați. Revenirea dumneavoastră ne-ar onora, așa că nu uitați să ne adăugați la favorite!