Fie sirul a1, a2, a3, ..., an
Ca un sir sa fie strict monoton inseamna sa fie strict crescator sau descrescator.
Daca e crescator atunci oricare doi termeni consecutivi an si a(n+1) indeplinesc urmatoarea proprietate: an < a(n+1) ==> a(n+1) - an > 0
Daca este descrescator, arunci an > a(n+1) si a(n+1) - an < 0.
In orice caz, diferenta D = a(n+1) - an este fie doar mai mare decat 0 fie doar mai mica decat 0. Daca diferenta variaza intre pozitiv si negativ, atunci sirul nu este monoton.
Pentru a demonstra monotonia unui sir trebuie sa demonstram ca semnul diferentei D = a(n + 1) - an este constant pentru oricare n.
2.
[tex] a_n=n^2-n\ ,\ \ n\geq1\\
D=a_{n+1}-a_n=((n+1)^2-(n+1))-(n^2-n)=\\
=n^2+2n+1-n-1-n^2+n=2n\\\\
n\geq1\rightarrow 2n \geq 2 > 0\rightarrow \boxed{D > 0}\ \forall\ n \geq 1 \rightarrow \text{sir strict monoton/crescator} [/tex]
3.b)
[tex] x_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\ , \ n\geq1\\\\
D=x_{n+1}-x_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\\
=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} [/tex]
Vom presupune ca diferenta este mai mica decat 0(sau mai mare; alegerea este a ta):
[tex] D<0\longleftrightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1}<0 \longleftrightarrow\sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}\\\\
\longleftrightarrow (\sqrt{n+2}+\sqrt{n})^2<(2\sqrt{n+1})^2\longleftrightarrow 2n+2+2\sqrt{n(n+2)}<4(n+1)\\\\
\longleftrightarrow2n+2>2\sqrt{n(n+2)}\longleftrightarrow n+1>\sqrt{n(n+2)}\longleftrightarrow (n+1)^2>(\sqrt{n(n+2)})^2\\\\
\longleftrightarrow n^2+2n+1>n(n+2)\longleftrightarrow 1 > 0 \text{
(Adevarat)} [/tex]
Am putut ridica la patrat in inecuatie fara a micsora sau largi setul de valori pentru care inecuatia este adevarata deoarece toti membri erau pozitivi.
De exemplu, pot spune ca daca 1^2 < 2^2, atunci 1 < 2, dar nu pot spune ca daca 1^2 < (-2)^2 atunci 1 < -2.
In cazul nostru toti membri erau pozitivi (pentru ca n > 0), asa ca am putut pune sagetile in ambele sensuri, pentru a arata ca se poate ajunge de la ceva adevarat (1 > 0) la faptul ca D < 0. pentru oricare n > 0, deci sirul este strict monoton/descrescator.
