Notam (a,b)=t , de aici rezulta ca exista p,r∈N* astfel incat a=t * p si b=t * r, cu conditia ca (p,r)=1 .
Folosim identitatea : (a,b) * [a,b]=a* b , de unde [a,b]= a*b/(a,b)
Ne intoarcem la exercitiu si inlocuim
a*b/(a,b) + (a,b) ≥ a+b
t *p * t * r/t + t ≥t * p + t * r
t se simplifica si obtinem:
p * t * r+ t ≥ t * p + t * r
Impartim toata inecuatia cu t :
p * r + 1 ≥ p + r
Trecem totul intr-o parte:
p * r + 1 - p - r≥ 0
Descompunem:
p(r -1 ) -(r-1)≥0
(r-1)(p-1)≥0
Relatia este adevarata , deoarece r si p sunt numere naturale nenule.
Q.E.D.
